A3.磁気流体力学の基礎方程式
cgs Gauss単位系におけるマクスウェル方程式
皆さんは大学の電磁気学の授業において、マクスウェル方程式は当然SI単位系で習ったと思います（著者もそうです）。
が、天文学においては未だにcgs Gauss単位系のマクスウェル方程式を使います。
著者は、単位がmでもcmでも構わないとは思っていたのですが、さすがにマクスウェル方程式の係数部分が違うのには面食らいましたし、今でもなれません。
天文業界としてどうすべきかの議論はちょっと脇においておいて、少なくともMKSA(SI)単位系とcgs Gauss単位系それぞれにおけるマクスウェル方程式について、ここでおさらいしておこうと思います。
MKSA単位系におけるマクスウェル方程式
\[\nabla \cdot \mathbf{D}=\rho\]
\[\nabla \cdot \mathbf{B}=0\]
\[\nabla \times \mathbf{E} - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} =0\]
\[\nabla \times \mathbf{H} - \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = \mathbf{j}\]
ただし
\[\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E}\]
\[\mathbf{B}=\mu \mathbf{H}\]
cgs Gauss 単位系におけるマクスウェル方程式
\[\nabla \cdot \mathbf{D}=4\pi \rho\]
\[\nabla \cdot \mathbf{B}=0\]
\[\nabla\times \mathbf{E} - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} =0\]
\[\nabla \times \mathbf{H} - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{j}\]
ただし
\[\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E}\]
\[\mathbf{B}=\mu \mathbf{H}\]
(ﾟДﾟ)ﾊｧ?
係数の違いは、誘電率\(\epsilon\)と透磁率\(\mu\)の単位のせい。
MKSA単位系では、 真空の誘電率を \(\epsilon_0\)とし、真空の透磁率\(\mu_0\)としたとき、
\[c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \text{ (in the MKSA unit)}\]
となる。一方で、cgs Gauss単位系では、誘電率と透磁率は無次元なので
\[\epsilon_0=1, \mu_0=1 \text{ (in the cgs-Gauss unit)}\]
\(4\pi\)や\(c\)の現れ方が違うのでとにかく注意。
本資料では、基本的にcgs Gauss単位系を用いて議論する。
磁気流体力学の基礎方程式
流体の基礎方程式であったA1.ナビエ・ストークス方程式を思い出すと
\[\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} + (\boldsymbol{v} \cdot \nabla)\boldsymbol{v} = - \frac{1}{\rho}\nabla p + \frac{\mu}{\rho}\nabla^2\boldsymbol{v} +\boldsymbol{F}\]
という形をしていた。ここに、ローレンツ力を加えよう。ローレンツ力は(MKSA単位系では\(F=q (\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\)だが)、cgs-Gauss単位系では\(F=q (\mathbf{E}+\frac{\mathbf{v}}{c}\times\mathbf{B})\)だったことに注意して、ローレンツ力をナビエ・ストークス方程式に加えると
\[\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} + (\boldsymbol{v} \cdot \nabla)\boldsymbol{v} = - \frac{1}{\rho}\nabla p + \frac{1}{\rho c}\mathbf{j}\times\mathbf{B} + \frac{\mu}{\rho}\nabla^2\boldsymbol{v} +\boldsymbol{F}\]
となる。ここで、変位電流を無視すれば\(\nabla \times \mathbf{B} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{j}\)なので
\[\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} + (\boldsymbol{v} \cdot \nabla)\boldsymbol{v} = - \frac{1}{\rho}\nabla p + \frac{1}{4\pi\rho}(\nabla \times \mathbf{B})\times\mathbf{B} + \frac{\mu}{\rho}\nabla^2\boldsymbol{v} +\boldsymbol{F}\]
を得る。
式を見やすくするために、ベクトル解析の公式より
\[(\nabla\times \mathbf{B})\times \mathbf{B} = (\mathbf{B}\cdot \nabla)\mathbf{B} - \nabla (\frac{B^2}{2})\]
なので、
\[\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} + (\boldsymbol{v} \cdot \nabla)\boldsymbol{v} = - \frac{1}{\rho}\nabla (p+\frac{B^2}{8\pi}) + \frac{(\mathbf{B}\cdot \nabla)\mathbf{B}}{4\pi \rho}+ \frac{\mu}{\rho}\nabla^2\boldsymbol{v} +\boldsymbol{F}\]