A1.ナビエ・ストークス方程式
物体の運動方程式は
ここでは、この方程式のかんたんな導出と、円筒座標系への変換について書いておく。
流体素片の運動方程式の導出
いま、とある流体素片があったとして、この流体素片の運動方程式を導出してみよう。
流体素片の体積を
となっている。この流体素片の加速度はラグランジュ微分を用いて
と書ける。ここで、右辺のちからを2つに分けた。右辺第一項は、流体素片の全体に掛かる力である(体積力)。例えば重力など。そのため、この力はかんたんに
と書けるであろう。これは質点の運動方程式と変わらない。 問題になるのは第二項、表面力である(連続体の力学では面積力とか言うかも)。この力は、流体素片の表面にかかる力だとしよう。
ここで、流体素片の面積要素をベクトルdS(太字)とおくと、おそらく表面力は面積要素の大きさに比例すると思われるので、二階のテンソルを用いて
とかけそうな気がしてくる。これを流体素片の表面全体で積分するとき、体積積分に直すときは一回微分しておけばよかったので
これを元の式に戻すと流体素片の運動方程式は、i成分を取り出して書くと
という形に書ける。
表面力の分解 - 圧力勾配力と粘性項
ここで、この右辺第二項を、圧力項と粘性項に分けて書いてみよう。クロネッカーのデルタを思い出して、対角成分だけ別に書くと
と分けることができる。
もし、第二項
…ちょっと例を出そう。流れ場にシアがあった場合、
(途中。P79あたり。5Viscous Flows)
圧力項
どこでもドアを月につないだらどうなるだろう?たぶん地球の空気が凄まじい勢いで月に噴出するであろう。これが圧力勾配力である。 何も難しいことは言っておらず、もし圧力に空間分布があり、勾配があれば、すなわち圧力pのグラジエントに比例して力がかかる効果である。 圧力は
だったことを思い出すと、原始惑星系円盤では基本的に圧力は動径方向には内側ほど高く、鉛直方向には中心面ほど高い。 すなわち、圧力勾配力は外側に押し出すように働いている。
粘性項
(まだ書いてない)
円筒座標系への変換
まず、円筒座標系における発散等をおさらいしよう。
(人生で一度くらいは導いてみてもいいかもしれない)。
Chouduri, Appendix C1, P393
これをナビエ・ストークス方程式に当てはめると、円筒座標系におけるナビエ・ストークス方程式が得られる。
Chouduri, Appendix C2, P393
円筒座標系での連続の式
ついでだし、円筒座標系における連続の式もメモしておこう。 ベクトルの形で書いた連続の式
に対して、先程の円筒座標系における
となる